Scale Free网络的偏好依附模型

对偏好依附模型的一般处理方法包含连续性方法[18,21]，速率方程[20,23]，Master方程[19]与 生成函数方法[9]，这也是统计物理学经常使用的方法。这一节，我们围绕偏好依附模型的幂率分布形式介绍连续性方法， 速率方程与Master方程在复杂网络研究中的应用。

考虑Scale Free网络的偏好依附模型，从顶点的度值变化的角度，假设其度值连续，我们有如下方程，

$${\frac{{\partial k_{i}}}{{\partial t}}} \Pi \left(\vphantom{k_{i}}\right. \left.\vphantom{k_{i}}\right) {\frac{{k_{i}}}{{\sum k_{j}}}}$$ (28)

每一步我们加入m条边，即增加2m个度值，于是 $\sum$k_j = 2mt + m₀，则

$${\frac{{\partial k_{i}}}{{\partial t}}} {\frac{{k_{i}}}{{2t}}}$$ (29)

顶点k_i是在t_i时刻进入系统的，且满足初始条件 k_i$\left(\vphantom{t_{i}}\right.$t_i$\left.\vphantom{t_{i}}\right)$ = m，于是

$$\left(\vphantom{t}\right. \left.\vphantom{t}\right) \left(\vphantom{\frac{t}{t_{i}}}\right. {\frac{{t}}{{t_{i}}}} \left.\vphantom{\frac{t}{t_{i}}}\right)^{{\frac{1}{2}}}_{}$$ (30)

利用上式，结合t_i的分布，就可以知道任意t时刻k_i的分布，即

$$\left(\vphantom{k_{i}\left(t\right)<k}\right. \left(\vphantom{t}\right. \left.\vphantom{t}\right) \left.\vphantom{k_{i}\left(t\right)<k}\right) \left(\vphantom{t_{i}>\frac{m^{2}t}{k^{2}}}\right. {\frac{{m^{2}t}}{{k^{2}}}} \left.\vphantom{t_{i}>\frac{m^{2}t}{k^{2}}}\right)$$ (31)

在t时刻， t_i $\in$ $\left[\vphantom{0,t}\right.$0, t$\left.\vphantom{0,t}\right)$的分布函数为

$${\frac{{1}}{{m_{0}+t}}}$$ (32)

结合以上两式就可以得到k_i的分布，

$${\frac{{\partial P\left(k_{i}\left(t\right)<k\right)}}{{\partial k}}} {\frac{{2m^2t}}{{m_{0}+t}}} {\frac{{1}}{{k^3}}} \sim \rightarrow \infty$$ (33)

方程(28)是一种平均意义上的描述，实际随机过程中所加入的边只是按照 $\Pi$$\left(\vphantom{k_{i}}\right.$k_i$\left.\vphantom{k_{i}}\right)$的分布来选择，并不能保 证确实让每一个顶点的度值增加那么大，也正是因此称为连续性方法，所以对实际随机过程分布函数演化的描述需要用到其他方法。引入分布 函数 p$\left(\vphantom{k;t_{i},t}\right.$k;t_i, t$\left.\vphantom{k;t_{i},t}\right)$，表示t_i时刻引入系统的顶点在t时刻度值为k的几率，其初始条件为 p$\left(\vphantom{k;t_{i},t_{i}}\right.$k;t_i, t_i$\left.\vphantom{k;t_{i},t_{i}}\right)$ = $\delta$$\left(\vphantom{k-m}\right.$k - m$\left.\vphantom{k-m}\right)$，，满足如下Master方程，

$$\left(\vphantom{k;t_{i},t+1}\right. \left.\vphantom{k;t_{i},t+1}\right) \left(\vphantom{k;t_{i},t}\right. \left.\vphantom{k;t_{i},t}\right) \left(\vphantom{k-1}\right. \left.\vphantom{k-1}\right) \left(\vphantom{k-1;t_{i},t}\right. \left.\vphantom{k-1;t_{i},t}\right) \left(\vphantom{k-1}\right. \left.\vphantom{k-1}\right) \left(\vphantom{k;t_{i},t}\right. \left.\vphantom{k;t_{i},t}\right)$$ (34)

其中 w^get$\left(\vphantom{k}\right.$k$\left.\vphantom{k}\right)$ = ${\frac{{k}}{{2t}}}$。所有顶点的度值分布定义所有不同时刻加入系统的顶点的平均行为，即

$$\left(\vphantom{k}\right. \left.\vphantom{k}\right) \lim_{{t\rightarrow\infty}}^{} {\frac{{\sum_{t_{i}}p\left(k;t_{i},t\right)}}{{t}}}$$ (35)

有以上两式可以求得度分布

$$\left(\vphantom{k}\right. \left.\vphantom{k}\right) {\frac{{2m\left(m+1\right)}}{{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}}} \sim$$ (36)

速率方程从另一个分布空间描述。t时刻度值为k的顶点组成一个集团，集团大小为 N_k$\left(\vphantom{t}\right.$t$\left.\vphantom{t}\right)$。当新顶点进入系统时， N_k可能发生改变，其变化率满足如下方程，

$${\frac{{dN_{k}\left(t\right)}}{{dt}}} \left(\vphantom{k-1}\right. \left.\vphantom{k-1}\right) \left(\vphantom{k}\right. \left.\vphantom{k}\right) \delta_{{k,m}}^{}$$ (37)

其中 W^get$\left(\vphantom{k}\right.$k$\left.\vphantom{k}\right)$为所有度值为k的顶点获得新的联接的几率，

$$\left(\vphantom{k}\right. \left.\vphantom{k}\right) {\frac{{kN_{k}\left(t\right)}}{{\sum_{d}dN_{d}\left(t\right)}}}$$ (38)

N_k同样满足方程 $\sum_{{k}}^{}$kN_k$\left(\vphantom{t}\right.$t$\left.\vphantom{t}\right)$ = 2mt + m₀，且

$$\left(\vphantom{k}\right. \left.\vphantom{k}\right) \lim_{{t\rightarrow\infty}}^{} {\frac{{N_{k}\left(t\right)}}{{\sum_{d}N_{d}\left(t\right)}}}$$ (39)

结合一上方程可以解得度分布 P$\left(\vphantom{k}\right.$k$\left.\vphantom{k}\right)$，具体计算见文章[20,23]。